11.13. Die FPU verwenden

11.13.1.1. Das Packed Decimal-Format

Das packed decimal-Format verwendet 10 Bytes (80 Bits) zur Darstellung von 18 Ziffern. Die so dargestellte Zahl ist immer ein Integer.

Das höchste Bit des höchsten Bytes (Byte 9) ist das Vorzeichenbit: Wenn es gesetzt ist, ist die Zahl negativ, ansonsten positiv. Die restlichen Bits dieses Bytes werden nicht verwendet bzw. ignoriert.

Die restlichen 9 Bytes enthalten die 18 Ziffern der gespeicherten Zahl: 2 Ziffern pro Byte.

Die signifikantere Ziffer wird in der oberen Hälfte (4 Bits) eines Bytes gespeichert, die andere in der unteren Hälfte.

Vielleicht würden Sie jetzt annehmen, das -1234567 auf die folgende Art im Speicher abgelegt wird (in hexadezimaler Notation):

80 00 00 00 00 00 01 23 45 67

Dem ist aber nicht so! Bei Intel werden alle Daten im little–endian-Format gespeichert, auch das packed decimal-Format.

Dies bedeutet, daß -1234567 wie folgt gespeichert wird:

67 45 23 01 00 00 00 00 00 80

Erinnern Sie sich an diesen Umstand, bevor Sie sich aus lauter Verzweiflung die Haare ausreißen.

11.13.2.1. Die Kamera

Die einfachste Form, eine Kamera zu beschreiben, ist die eines abgeschlossenen, lichtundurchlässigen Raumes, in dessen Abdeckung sich ein kleines Loch befindet.

Die Abdeckung ist normalerweise fest (z.B. eine Schachtel), manchmal jedoch auch flexibel (z.B. ein Balgen). Innerhalb der Kamera ist es sehr dunkel. Nur durch ein kleines Loch kann Licht von einem einzigen Punkt aus in den Raum eindringen (in manchen Fällen sind es mehrere Löcher). Diese Lichtstrahlen kommen von einem Bild, einer Darstellung von dem was sich außerhalb der Kamera, vor dem kleinen Loch, befindet.

Wenn ein lichtempfindliches Material (wie z.B. ein Film) in der Kamera angebracht wird, so kann dieses das Bild einfangen.

Das Loch enthält häufig eine Linse, oder etwas linsenartiges, häufig auch einfach Objektiv genannt.

11.13.2.2. Die Lochblende

Streng genommen ist die Linse nicht notwendig: Die ursprünglichen Kameras verwendeten keine Linse, sondern eine Lochblende. Selbst heutzutage werden noch Lochblenden verwendet, zum einen, um die Funktionsweise einer Kamera zu erlernen, und zum anderen, um eine spezielle Art von Bildern zu erzeugen.

Das Bild, das von einer Lochblende erzeugt wird, ist überall scharf. Oder unscharf. Es gibt eine ideale Größe für eine Lochblende: Wenn sie größer oder kleiner ist, verliert das Bild seine Schärfe.

11.13.2.3. Brennweite

Dieser ideale Lochblendendurchmesser ist eine Funktion der Quadratwurzel der Brennweite, welche dem Abstand der Lochblende von dem Film entspricht.

     D = PC * sqrt(FL)

Hier ist D der ideale Durchmesser der Lochblende, FL die Brennweite und PC eine Konstante der Brennweite. Nach Jay Bender hat die Konstante den Wert 0.04, nach Kenneth Connors 0.037. Andere Leute haben andere Werte vorgeschlagen. Des weiteren gelten diese Werte nur für Tageslicht: Andere Arten von Licht benötigen andere konstante Werte, welche nur durch Experimente bestimmt werden können.

11.13.2.4. Der f–Wert

Der f–Wert ist eine sehr nützliche Größe, die angibt, wieviel Licht den Film erreicht. Ein Belichtungsmesser kann dies messen, um z.B. für einen Film mit einer Empfindlichkeit von f5.6 eine Belichtungsdauer von 1/1000 Sekunden auszurechnen.

Es spielt keine Rolle, ob es eine 35–mm- oder eine 6x9cm-Kamera ist, usw. Solange wir den f–Wert kennen, können wir die benötigte Belichtungszeit berechnen.

Der f–Wert läßt sich einfach wie folgt berechnen:

    F = FL / D

Mit anderen Worten, der f–Wert ergibt sich aus der Brennweite (FL), dividiert durch den Durchmesser (D) der Lochblende. Ein großer f–Wert impliziert also entweder eine kleine Lochblende, oder eine große Brennweite, oder beides. Je größer also der f–Wert ist, um so länger muß die Belichtungszeit sein.

Des weiteren sind der Lochblendendurchmesser und die Brennweite eindimensionale Meßgrößen, während der Film und die Lochblende an sich zweidimensionale Objekte darstellen. Das bedeutet, wenn man für einen f–Wert A eine Belichtungsdauer t bestimmt hat, dann ergibt sich daraus für einen f–Wert B eine Belichtungszeit von:

    t * (B / A)²

11.13.2.5. Normalisierte f–Werte

Während heutige moderne Kameras den Durchmesser der Lochblende, und damit deren f–Wert, weich und schrittweise verändern können, war dies früher nicht der Fall.

Um unterschiedliche f–Werte einstellen zu können, besaßen Kameras typischerweise eine Metallplatte mit Löchern unterschiedlichen Durchmessers als Lochblende.

Die Durchmesser wurden entsprechend obiger Formel gewählt, daß der resultierende f–Wert ein fester Standardwert war, der für alle Kameras verwendet wurde. Z.B. hat eine sehr alte Kodak Duaflex IV Kamera in meinem Besitz drei solche Löcher für die f–Werte 8, 11 und 16.

Eine neuere Kamera könnte f–Werte wie 2.8, 4, 5.6, 8, 11, 16, 22, und 32 (und weitere) besitzen. Diese Werte wurden nicht zufällig ausgewählt: Sie sind alle vielfache der Quadratwurzel aus 2, wobei manche Werte gerundet wurden.

11.13.2.6. Der f–Stopp

Eine typische Kamera ist so konzipiert, daß die Nummernscheibe bei den normalisierten f–Werten einrastet. Die Nummernscheibe stoppt an diesen Positionen. Daher werden diese Positionen auch f–Stopps genannt.

Da die f–Werte bei jedem Stopp vielfache der Quadratwurzel aus 2 sind, verdoppelt die Drehung der Nummernscheibe um einen Stopp die für die gleiche Belichtung benötigte Lichtmenge. Eine Drehung um 2 Stopps vervierfacht die benötigte Belichtungszeit. Eine Drehung um 3 Stopps verachtfacht sie, etc.

11.13.3.1. Verarbeitung der Programmeingaben

Da der Hauptzweck des Programms darin besteht, uns beim Entwurf einer funktionierenden Lochkamera zu helfen, wird die Brennweite die Programmeingabe sein. Dies ist etwas, das wir ohne zusätzliche Programme feststellen können: Die geeignete Brennweite ergibt sich aus der Größe des Films und der Art des Fotos, ob dieses ein "normales" Bild, ein Weitwinkelbild oder ein Telebild sein soll.

Die meisten bisher geschriebenen Programme arbeiteten mit einzelnen Zeichen, oder Bytes, als Eingabe: Das hex-Programm konvertierte einzelne Bytes in hexadezimale Werte, das csv-Programm ließ entweder einzelne Zeichen unverändert, löschte oder veränderte sie, etc.

Das Programm ftuc verwendete einen Zustandsautomaten, um höchstens zwei gleichzeitig eingegebene Bytes zu verarbeiten.

Das pinhole-Programm dagegen kann nicht nur mit einzelnen Zeichen arbeiten, sondern muß mit größeren syntaktischen Einheiten zurrecht kommen.

Wenn wir z.B. möchten, daß unser Programm den Lochblendendurchmesser (und weitere Werte, die wir später noch diskutieren werden) für die Brennweiten 100 mm, 150 mm und 210 mm berechnet, wollen wir etwa folgendes eingeben:

100, 150, 210

Unser Programm muß mit der gleichzeitigen Eingabe von mehr als nur einem einzelnen Byte zurecht kommen. Wenn es eine 1 erkennt, muß es wissen, daß dies die erste Stelle einer dezimalen Zahl ist. Wenn es eine 0, gefolgt von einer weiteren 0 sieht, muß es wissen, daß dies zwei unterschiedliche Stellen mit der gleichen Zahl sind.

Wenn es auf das erste Komma trifft, muß es wissen, daß die folgenden Stellen nicht mehr zur ersten Zahl gehören. Es muß die Stellen der ersten Zahl in den Wert 100 konvertieren können. Und die Stellen der zweiten Zahl müssen in den Wert 150 konvertiert werden. Und die Stellen der dritten Zahl müssen in den Wert 210 konvertiert werden.

Wir müssen festlegen, welche Trennsymbole zulässig sind: Sollen die Eingabewerte durch Kommas voneinander getrennt werden? Wenn ja, wie sollen zwei Zahlen behandelt werden, die durch ein anderes Zeichen getrennt sind?

Ich persönlich mag es einfach. Entweder etwas ist eine Zahl, dann wird es verarbeitet, oder es ist keine Zahl, dann wird es verworfen. Ich mag es nicht, wenn sich der Computer bei der offensichtlichen Eingabe eines zusätzlichen Zeichens beschwert. Duh!

Zusätzlich erlaubt es mir, die Monotonie des Tippens zu durchbrechen, und eine Anfrage anstelle einer simplen Zahl zu stellen:

Was ist der beste Lochblendendurchmesser
	  bei einer Brennweite von 150?

Es gibt keinen Grund dafür, die Ausgabe mehrerer Fehlermeldungen aufzuteilen:

Syntax error: Was
Syntax error: ist
Syntax error: der
Syntax error: beste

Et cetera, et cetera, et cetera.

Zweitens mag ich das #-Zeichen, um Kommentare zu markieren, die ab dem Zeichen bis zum Ende der jeweiligen Zeile gehen. Dies verlangt nicht viel Programmieraufwand, und ermöglicht es mir, Eingabedateien für meine Programme als ausführbare Skripte zu handhaben.

In unserem Fall müssen wir auch entscheiden, in welchen Einheiten die Dateneingabe erfolgen soll: Wir wählen Millimeter, da die meisten Photographen die Brennweite in dieser Einheit messen.

Letztendlich müssen wir noch entscheiden, ob wir die Verwendung des dezimalen Punktes erlauben (in diesem Fall müssen wir berücksichtigen, daß in vielen Ländern der Welt das dezimale Komma verwendet wird).

In unserem Fall würde das Zulassen eines dezimalen Punktes/Kommas zu einer fälschlicherweise angenommenen, höheren Genauigkeit führen: Der Unterschied zwischen den Brennweiten 50 und 51 ist fast nicht wahrnehmbar. Die Zulassung von Eingaben wie 50.5 ist also keine gute Idee. Beachten Sie bitte, das dies meine Meinung ist. In diesem Fall bin ich der Autor des Programmes. Bei Ihren eigenen Programmen müssen Sie selbst solche Entscheidungen treffen.

11.13.3.2. Optionen anbieten

Das wichtigste, was wir zum Bau einer Lochkamera wissen müssen, ist der Durchmesser der Lochblende. Da wir scharfe Bilder schießen wollen, werden wir obige Formel für die Berechnung des korrekten Durchmessers zu gegebener Brennweite verwenden. Da Experten mehrere Werte für die PC-Konstante anbieten, müssen wir uns hier für einen Wert entscheiden.

In der Programmierung unter UNIX® ist es üblich, zwei Hauptvarianten anzubieten, um Parameter an Programme zu übergeben, und des weiteren eine Standardeinstellung für den Fall zu haben, das der Benutzer gar keine Parameter angibt.

Warum zwei Varianten, Parameter anzugeben?

Ein Grund ist, eine (relativ) feste Einstellung anzubieten, die automatisch bei jedem Programmaufruf verwendet wird, ohne das wir diese Einstellung immer und immer wieder mit angeben müssen.

Die feste Einstellung kann in einer Konfigurationsdatei gespeichert sein, typischerweise im Heimatverzeichnis des Benutzers. Die Datei hat üblicherweise denselben Namen wie das zugehörige Programm, beginnt jedoch mit einem Punkt. Häufig wird "rc" dem Dateinamen hinzugefügt. Unsere Konfigurationsdatei könnte also ~/.pinhole oder ~/.pinholerc heißen. (Die Zeichenfolge ~/ steht für das Heimatverzeichnis des aktuellen Benutzers.)

Konfigurationsdateien werden häufig von Programmen verwendet, die viele konfigurierbare Parameter besitzen. Programme, die nur eine (oder wenige) Parameter anbieten, verwenden häufig eine andere Methode: Sie erwarten die Parameter in einer Umgebungsvariablen. In unserem Fall könnten wir eine Umgebungsvariable mit dem Namen PINHOLE benutzen.

Normalerweise verwendet ein Programm entweder die eine, oder die andere der beiden obigen Methoden. Ansonsten könnte ein Programm verwirrt werden, wenn eine Konfigurationsdatei das eine sagt, die Umgebungsvariable jedoch etwas anderes.

Da wir nur einen Parameter unterstützen müssen, verwenden wir die zweite Methode, und benutzen eine Umgebungsvariable mit dem Namen PINHOLE.

Der andere Weg erlaubt uns, ad hoc Entscheidungen zu treffen: "Obwohl ich normalerweise einen Wert von 0.039 verwende, will ich dieses eine Mal einen Wert von 0.03872 anwenden." Mit anderen Worten, dies erlaubt uns, die Standardeinstellung außer Kraft zu setzen.

Diese Art der Auswahl wird häufig über Kommandozeilenparameter gemacht.

Schließlich braucht ein Programm immer eine Standardeinstellung. Der Benutzer könnte keine Parameter angeben. Vielleicht weiß er auch gar nicht, was er einstellen sollte. Vielleicht will er es "einfach nur ausprobieren". Vorzugsweise wird die Standardeinstellung eine sein, die die meisten Benutzer sowieso wählen würden. Somit müssen diese keine zusätzlichen Parameter angeben, bzw. können die Standardeinstellung ohne zusätzlichen Aufwand benutzen.

Bei diesem System könnte das Programm widersprüchliche Optionen vorfinden, und auf die folgende Weise reagieren:

Wir müssen auch entscheiden, welches Format unsere PC-Option haben soll.

Auf den ersten Blick scheint es einleuchtend, das Format PINHOLE=0.04 für die Umgebungsvariable, und -p0.04 für die Kommandozeile zu verwenden.

Dies zuzulassen wäre eigentlich eine Sicherheitslücke. Die PC-Konstante ist eine sehr kleine Zahl. Daher würden wir unsere Anwendung mit verschiedenen, kleinen Werten für PC testen. Aber was würde passieren, wenn jemand das Programm mit einem sehr großen Wert aufrufen würde?

Es könnte abstürzen, weil wir das Programm nicht für den Umgang mit großen Werten entworfen haben.

Oder wir investieren noch weiter Zeit in das Programm, so daß dieses dann auch mit großen Zahlen umgehen kann. Wir könnten dies machen, wenn wir kommerzielle Software für computertechnisch unerfahrene Benutzer schreiben würden.

Oder wir könnten auch sagen "Pech gehabt! Der Benutzer sollte es besser wissen."

Oder wir könnten es für den Benutzer unmöglich machen, große Zahlen einzugeben. Dies ist die Variante, die wir verwenden werden: Wir nehmen einen impliziten 0.-Präfix an.

Mit anderen Worten, wenn der Benutzer den Wert 0.04 angeben will, so muß er entweder -p04 als Parameter angeben, oder PINHOLE=04 als Variable in seiner Umgebung definieren. Falls der Benutzer -p9999999 angibt, so wird dies als 0.9999999 interpretiert—zwar immer noch sinnlos, aber zumindest sicher.

Zweitens werden viele Benutzer einfach die Konstanten von Bender oder Connors benutzen wollen. Um es diesen Benutzern einfacher zu machen, werden wir -b als -p04, und -c als -p037 interpretieren.

11.13.3.3. Die Ausgabe

Wir müssen festlegen, was und in welchem Format unsere Anwendung Daten ausgeben soll.

Da wir als Eingabe beliebig viele Brennweiten erlauben, macht es Sinn, die Ergebnisse in Form einer traditionellen Datenbank–Ausgabe darzustellen, bei der zeilenweise zu jeder Brennweite der zugehörige berechnete Wert, getrennt durch ein tab-Zeichen, ausgegeben wird.

Optional sollten wir dem Benutzer die Möglichkeit geben, die Ausgabe in dem schon beschriebenen CSV-Format festzulegen. In diesem Fall werden wir zu Beginn der Ausgabe eine Zeile einfügen, in der die Beschreibungen der einzelnen Felder, durch Kommas getrennt, aufgelistet werden, gefolgt von der Ausgabe der Daten wie schon beschrieben, wobei das tab-Zeichen durch ein Komma ersetzt wird.

Wir brauchen eine Kommandozeilenoption für das CSV-Format. Wir können nicht -c verwenden, da diese Option bereits für verwende Connors Konstante steht. Aus irgendeinem seltsamen Grund bezeichnen viele Webseiten CSV-Dateien als "Excel Kalkulationstabelle" (obwohl das CSV-Format älter ist als Excel). Wir werden daher -e als Schalter für die Ausgabe im CSV-Format verwenden.

Jede Zeile der Ausgabe wird mit einer Brennweite beginnen. Dies mag auf den ersten Blick überflüssig erscheinen, besonders im interaktiven Modus: Der Benutzer gibt einen Wert für die Brennweite ein, und das Programm wiederholt diesen.

Der Benutzer kann jedoch auch mehrere Brennweiten in einer Zeile angeben. Die Eingabe kann auch aus einer Datei, oder aus der Ausgabe eines anderen Programmes, kommen. In diesen Fällen sieht der Benutzer die Eingabewerte überhaupt nicht.

Ebenso kann die Ausgabe in eine Datei umgelenkt werden, was wir später noch untersuchen werden, oder sie könnte an einen Drucker geschickt werden, oder auch als Eingabe für ein weiteres Programm dienen.

Es macht also wohl Sinn, jede Zeile mit einer durch den Benutzer eingegebenen Brennweite beginnen zu lassen.

Halt! Nicht, wie der Benutzer die Daten eingegeben hat. Was passiert, wenn der Benutzer etwas wie folgt eingibt:

00000000150

Offensichtlich müssen wir die führenden Nullen vorher abschneiden.

Wir müssen also die Eingabe des Benutzers sorgfältig prüfen, diese dann in der FPU in die binäre Form konvertieren, und dann von dort aus ausgeben.

Aber...

Was ist, wenn der Benutzer etwas wie folgt eingibt:

17459765723452353453534535353530530534563507309676764423

Ha! Das packed decimal-Format der FPU erlaubt uns die Eingabe einer 18–stelligen Zahl. Aber der Benutzer hat mehr als 18 Stellen eingegeben. Wie gehen wir damit um?

Wir könnten unser Programm so modifizieren, daß es die ersten 18 Stellen liest, der FPU übergibt, dann weitere 18 Stellen liest, den Inhalt des TOS mit einem Vielfachen von 10, entsprechend der Anzahl der zusätzlichen Stellen multipliziert, und dann beide Werte mittels add zusammen addiert.

Ja, wir könnten das machen. Aber in diesem Programm wäre es unnötig (in einem anderen wäre es vielleicht der richtige Weg): Selbst der Erdumfang in Millimetern ergibt nur eine Zahl mit 11 Stellen. Offensichtlich können wir keine Kamera dieser Größe bauen (jedenfalls jetzt noch nicht).

Wenn der Benutzer also eine so große Zahl eingibt, ist er entweder gelangweilt, oder er testet uns, oder er versucht, in das System einzudringen, oder er spielt— indem er irgendetwas anderes macht als eine Lochkamera zu entwerfen.

Was werden wir tun?

Wir werden ihn ohrfeigen, gewissermaßen:

17459765723452353453534535353530530534563507309676764423	???	???	???	???	???

Um dies zu erreichen, werden wir einfach alle führenden Nullen ignorieren. Sobald wir eine Ziffer gefunden haben, die nicht Null ist, initialisieren wir einen Zähler mit 0 und beginnen mit drei Schritten:

Während wir diese drei Schritte wiederholen, müssen wir auf zwei Bedingungen achten:

• Wenn der Zähler den Wert 18 übersteigt, hören wir auf, Ziffern dem Puffer hinzuzufügen. Wir lesen weiterhin Ziffern und senden sie an die Ausgabe.

• Wenn, bzw. falls, das nächste Eingabezeichen keine Zahl ist, sind wir mit der Bearbeitung der Eingabe erst einmal fertig.

  Übrigends können wir einfach Zeichen, die keine Ziffern sind, verwerfen, solange sie kein #-Zeichen sind, welches wir an den Eingabestrom zurückgeben müssen. Dieses Zeichen markiert den Beginn eines Kommentars. An dieser Stelle muß die Erzeugung der Ausgabe fertig sein, und wir müssen mit der Suche nach weiteren Eingabedaten fortfahren.

Es bleibt immer noch eine Möglichkeit unberücksichtigt: Wenn der Benutzer eine Null (oder mehrere) eingibt, werden wir niemals eine von Null verschiedene Zahl vorfinden.

Wir können solch einen Fall immer anhand des Zählerstandes feststellen, welcher dann immer bei 0 bleibt. In diesem Fall müssen wir einfach eine 0 an die Ausgabe senden, und anschließend dem Benutzer erneut eine "Ohrfeige" verpassen:

0	???	???	???	???	???

Sobald wir die Brennweite ausgegeben, und die Gültigkeit dieser Eingabe verifiziert haben, (größer als 0 und kleiner als 18 Zahlen) können wir den Durchmesser der Lochblende berechnen.

Es ist kein Zufall, daß Lochblende das Wort Loch enthält. In der Tat ist eine Lochblende buchstäblich eine Loch Blende, also eine Blende, in die mit einer Nadel vorsichtig ein kleines Loch gestochen wird.

Daher ist eine typische Lochblende sehr klein. Unsere Formel liefert uns das Ergebnis in Millimetern. Wir werden dieses mit 1000 multiplizieren, so daß die Ausgabe in Mikrometern erfolgt.

An dieser Stelle müssen wir auf eine weitere Falle achten: Zu hohe Genauigkeit.

Ja, die FPU wurde für mathematische Berechnungen mit hoher Genauigkeit entworfen. Unsere Berechnungen hier erfordern jedoch keine solche mathematische Genauigkeit. Wir haben es hier mit Physik zu tun (Optik, um genau zu sein).

Angenommen, wir wollten aus eine Lastkraftwagen eine Lochkamera bauen (wir wären dabei nicht die ersten, die das versuchen würden!). Angenommen, die Länge des Laderaumes beträgt 12 Meter lang, so daß wir eine Brennweite von 12000 hätten. Verwenden wir Benders Konstante, so erhalten wir durch Multiplizieren von 0.04 mit der Quadratwurzel aus 12000 einen Wert von 4.381780460 Millimetern, oder 4381.780460 Micrometern.

So oder so ist das Rechenergebnis absurd präzise. Unser Lastkraftwagen ist nicht genau 12000 Millimeter lang. Wir haben diese Länge nicht mit einer so hohen Genauigkeit gemessen, weswegen es falsch wäre zu behaupten, unser Lochblendendurchmesser müsse exakt 4.381780460 Millimeter sein. Es reicht vollkommen aus, wenn der Durchmesser 4.4 Millimeter beträgt.

Wir müssen also die Anzahl der signifikanten Stellen beschränken. Eine Möglichkeit wäre, die Mikrometer durch eine ganze Zahl darzustellen. Unser Lastkraftwaren würde dann eine Lochblende mit einem Durchmesser von 4382 Mikrometern benötigen. Betrachten wir diesen Wert, dann stellen wir fest, das 4400 Mikrometer, oder 4.4 Millimeter, immer noch genau genug ist.

Zusätzlich können wir noch, unabhängig von der Größe eines Rechenergebnisses, festlegen, daß wir nur vier signifikante Stellen anzeigen wollen (oder weniger). Leider bietet uns die FPU nicht die Möglichkeit, das Ergebnis automatisch bis auf eine bestimmte Stelle zu runden (sie sieht die Daten ja nicht als Zahlen, sondern als binäre Daten an).

Wir müssen also selber einen Algorithmus entwerfen, um die Anzahl der signifikanten Stellen zu reduzieren.

Hier ist meiner (ich denke er ist peinlich—wenn Ihnen ein besserer Algorithmus einfällt, verraten sie ihn mir bitte):

Wir können so den Lochblendendurchmesser, auf vier signifikante Stellen gerundet, ausgeben.

An dieser Stellen kennen wir nun die Brennweite und den Lochblendendurchmesser. Wir haben also jetzt genug Informationen, um den f–Wert zu bestimmen.

Wir werden den f–Wert, auf vier signifikante Stellen gerundet, ausgeben. Es könnte passieren, daß diese vier Stellen recht wenig aussagen. Um die Aussagekraft des f–Wertes zu erhöhen, könnten wir den nächstliegenden, normalisierten f–Wert bestimmen, also z.B. das nächstliegende Vielfache der Quadratwurzel aus 2.

Wir erreichen dies, indem wir den aktuellen f–Wert mit sich selbst multiplizieren, so daß wir dessen Quadrat (square) erhalten. Anschließend berechnen wir den Logarithmus zur Basis 2 von dieser Zahl. Dies ist sehr viel einfacher, als direkt den Logarithmus zur Basis der Quadratwurzel aus 2 zu berechnen! Wir runden dann das Ergebnis auf die nächstliegende ganze Zahl. Genau genommen können wir mit Hilfe der FPU diese Berechnung beschleunigen: Wir können den op-Code fscale verwenden, um eine Zahl um 1 zu "skalieren", was dasselbe ist, wie eine Zahl mittels shift um eine Stelle nach links zu verschieben. Am Ende berechnen wir noch die Quadratwurzel aus allem, und erhalten dann den nächstliegenden, normalisierten f–Wert.

Wenn das alles jetzt viel zu kompliziert wirkt—oder viel zu aufwendig—wird es vielleicht klarer, wenn man den Code selber betrachtet. Wir benötigen insgesamt 9 op-Codes:

fmul    st0, st0
    fld1
    fld     st1
    fyl2x
    frndint
    fld1
    fscale
    fsqrt
    fstp    st1

Die erste Zeile, fmul st0, st0, quadriert den Inhalt des TOS (Top Of Stack, was dasselbe ist wie st, von nasm auch st0 genannt). Die Funktion fld1 fügt eine 1 dem TOS hinzu.

Die nächste Zeile, fld st1, legt das Quadrat auf dem TOS ab. An diesem Punkt befindet sich das Quadrat sowohl in st als auch in st(2) (es wird sich gleich zeigen, warum wir eine zweite Kopie auf dem Stack lassen.) st(1) enthält die 1.

Im nächsten Schritt, fyl2x, wird der Logarithmus von st zur Basis 2 berechnet, und anschließend mit st(1) multipliziert. Deshalb haben wir vorher die 1 in st(1) abgelegt.

An dieser Stelle enthält st den gerade berechneten Logarithmus, und st(1) das Quadrat des aktuellen f–Wertes, den wir für später gespeichert haben.

frndint rundet den TOS zur nächstliegenden ganzen Zahl. fld1 legt eine 1 auf dem Stack ab. fscale shiftet die 1 auf dem TOS um st(1) Stellen, wodurch im Endeffekt eine 2 in st(1) steht.

Schließlich berechnet fsqrt die Quadratwurzel des Rechenergebnisses, also des nächstliegenden, normalisierten f–Wertes.

Wir haben nun den nächstliegenden, normalisierten f–Wert auf dem TOS liegen, den auf den Logarithmus zur Basis 2 gerundeten, nächstliegenden ganzzahligen Wert in st(1), und das Quadrat des aktuellen f–Wertes in st(2). Wir speichern den Wert für eine spätere Verwendung in st(2).

Aber wir brauchen den Inhalt von st(1) gar nicht mehr. Die letzte Zeile, fstp st1, platziert den Inhalt von st in st(1), und erniedrigt den Stackpointer um eins. Dadurch ist der Inhalt von st(1) jetzt st, der Inhalt von st(2) jetzt st(1) usw. Der neue st speichert jetzt den normalisierten f–Wert. Der neue st(1) speichert das Quadrat des aktuellen f–Wertes für die Nachwelt.

Jetzt können wir den normalisierten f–Wert ausgeben. Da er normalisiert ist, werden wir ihn nicht auf vier signifikante Stellen runden, sondern stattdessen mit voller Genauigkeit ausgeben.

Der normalisierte f–Wert ist nützlich, solange er so klein ist, daß wir ihn auf einem Photometer wiederfinden können. Ansonsten brauchen wir eine andere Methode, um die benötigten Belichtungsdaten zu bestimmen.

Wir haben weiter oben eine Formel aufgestellt, über die wir einen f–Wert mit Hilfe eines anderen f–Wertes und den zugehörigen Belichtungsdaten bestimmen können.

Jedes Photometer, das ich jemals gesehen habe, konnte die benötigte Belichtungszeit für f5.6 berechnen. Wir werden daher einen "f5.6 Multiplizierer" berechnen, der uns den Faktor angibt, mit dem wir die bei f5.6 gemessene Belichtungszeit für unsere Lochkamera multiplizieren müssen.

Durch die Formel wissen wir, daß dieser Faktor durch Dividieren unseres f–Wertes (der aktuelle Wert, nicht der normalisierte) durch 5.6 und anschließendes Quadrieren, berechnen können.

Mathematisch äquivalent dazu wäre, wenn wir das Quadrat unseres f–Wertes durch das Quadrat von 5.6 dividieren würden.

Numerisch betrachtet wollen wir nicht zwei Zahlen quadrieren, wenn es möglich ist, nur eine Zahl zu quadrieren. Daher wirkt die erste Variante auf den ersten Blick besser.

Aber...

5.6 ist eine Konstante. Wir müssen nicht wertvolle Rechenzeit der FPU verschwenden. Es reicht aus, daß wir die Quadrate der einzelnen f–Werte durch den konstanten Wert 5.6² dividieren. Oder wir können den jeweiligen f–Wert durch 5.6 dividieren, und dann das Ergebnis quadrieren. Zwei Möglichkeiten, die gleich erscheinen.

Aber das sind sie nicht!

Erinnern wir uns an die Grundlagen der Photographie weiter oben, dann wissen wir, daß sich die Konstante 5.6 aus dem 5-fachen der Quadratwurzel aus 2 ergibt. Eine irrationale Zahl. Das Quadrat dieser Zahl ist exakt 32.

32 ist nicht nur eine ganze Zahl, sondern auch ein Vielfaches von 2. Wir brauchen also gar nicht das Quadrat eines f–Wertes durch 32 zu teilen. Wir müssen lediglich mittels fscale den f–Wert um fünf Stellen nach rechts shiften. Aus Sicht der FPU müssen wir also fscale mit st(1), welcher gleich -5 ist, auf den f–Wert anwenden. Dies ist sehr viel schneller als die Division.

Jetzt wird es auch klar, warum wir das Quadrat des f–Wertes ganz oben auf dem Stack der FPU gespeichert haben. Die Berechnung des f5.6 Multiplizierers ist die einfachste Berechnung des gesamten Programmes! Wir werden das Ergebnis auf vier signifikante Stellen gerundet ausgeben.

Es gibt noch eine weitere nützliche Zahl, die wir berechnen können: Die Anzahl der Stopps, die unser f–Wert von f5.6 entfernt ist. Dies könnte hilfreich sein, wenn unser f–Wert außerhalb des Meßbereiches unseres Photometers liegt, wir aber eine Blende haben, bei der wir unterschiedliche Geschwindigkeiten einstellen können, und diese Blende Stopps benutzt.

Angenommen, unser f–Wert ist 5 Stopps von f5.6 entfernt, und unser Photometer sagt uns, daß wir eine Belichtungszeit von 1/1000 Sek. einstellen sollen. Dann können wir unsere Blende auf die Geschwindigkeit 1/1000 einstellen, und unsere Skala um 5 Stopps verschieben.

Diese Rechnung ist ebenfalls sehr einfach. Alles, was wir tun müssen, ist, den Logarithmus des f5.6 Multiplizierers, den wir schon berechnet haben (wobei wir dessen Wert vor der Rundung nehmen müssen) zur Basis 2 zu nehmen. Wir runden dann das Ergebnis zur nächsten ganzen Zahl hin, und geben dies aus. Wir müssen uns nicht darum kümmern, ob wir mehr als vier signifikante Stellen haben: Das Ergebnis besteht höchstwahrscheinlich nur aus einer oder zwei Stellen.